Cálculo Ejemplos

$\int x \sqrt{4 x + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x + 1$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{1}{4}) \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sqrt{u}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{1}{4}) \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Paso 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{1}{4}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{u}{4}$ por $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3.7

Suma $2$ y $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3.8

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3.9

Combina $- \frac{1}{4}$ y $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} d u$

Paso 3.10

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{16} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{16} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.2

Reescribe $\frac{1}{16} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 16} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.3.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{48} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.3.3

Cancela el factor común de $2$ y $48$ .

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Paso 10.3.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{48} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $48$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 1$ .

$\frac{1}{40} {(4 x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{24} {(4 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$