Cálculo Ejemplos

$\int_{e}^{e^{4}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Paso 1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Paso 1.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $4$ fuera del exponente.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

Paso 1.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$(2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.4

Evalúa el exponente.

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 - 2 \cdot 1$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$4 - 2$

Paso 4.3.4

Resta $2$ de $4$ .

$2$