Cálculo Ejemplos

$\int \sin^{5} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\sin^{4} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Paso 4

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Paso 6

Expande ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Paso 6.1

Reescribe ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 6.5

Mueve $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 6.6

Mueve $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.11

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 6.13

Suma $2$ y $2$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 6.14

Resta $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Paso 6.15

Reordena $- 2 u^{2}$ y $u^{4}$ .

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Paso 6.16

Mueve $1$ .

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Paso 9

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Paso 12.2

Simplifica.

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$