Cálculo Ejemplos

$\int \frac{- 4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Paso 1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 - 2 x^{2}$ . Entonces $d u = - 4 x d x$ , de modo que $\frac{1}{- 4 x} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 - 2 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - 4 x$

Paso 2.1.4

Resta $4 x$ de $0$ .

$- 4 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica.

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Paso 3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - - \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 3.1.3

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Paso 5

Reescribe $- u^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{1 - 2 x^{2}} + C$