Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{{(u + 1)}^{2}}{u} d u$

Paso 2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.1

Reescribe ${(u + 1)}^{2}$ como $(u + 1) (u + 1)$ .

$\int \frac{(u + 1) (u + 1)}{u} d u$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u (u + 1) + 1 (u + 1)}{u} d u$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot 1 + 1 (u + 1)}{u} d u$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot 1 + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Paso 2.5

Reordena $u$ y $1$ .

$\int \frac{u \cdot u + 1 \cdot u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Paso 3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Paso 4

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{1 + 1} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{u^{2} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Paso 6.2

Multiplica $u$ por $1$ .

$\int \frac{u^{2} + u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Paso 6.3

Multiplica $u$ por $1$ .

$\int \frac{u^{2} + u + u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Paso 6.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int \frac{u^{2} + u + u + 1}{u} d u$

Paso 7

Suma $u$ y $u$ .

$\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u} d u$

Paso 8

Divide $u^{2} + 2 u + 1$ por $u$ .

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Paso 8.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

Paso 8.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $u^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$

Paso 8.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Paso 8.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $u^{2} + 0$ .

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Paso 8.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$

Paso 8.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$

Paso 8.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 u$ por el término de mayor orden en el divisor $u$ .

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$

Paso 8.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	+	$0$

Paso 8.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 u + 0$ .

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	-	$0$

Paso 8.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

Paso 8.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int u + 2 + \frac{1}{u} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u d u + \int 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} u^{2} + C + 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + 2 u + C + \ln (| u |) + C$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{2} u^{2} + 2 u + \ln (| u |) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (x - 1) + \ln (| x - 1 |) + C$