Cálculo Ejemplos

$\int 18 t^{2} {(t^{3} + 1)}^{5} d t$

Paso 1

Sea $u = t^{3} + 1$ . Entonces $d u = 3 t^{2} d t$ , de modo que $\frac{1}{3 t^{2}} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = t^{3} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $t^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{3} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$3 t^{2} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $3 t^{2}$ y $0$ .

$3 t^{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 6 u^{5} d u$

Paso 2

Dado que $6$ es constante con respecto a $u$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int u^{5} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ como $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ .

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Paso 4.2

Reescribe $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ como $1 u^{6} + C$ .

$1 u^{6} + C$

Paso 4.3

Multiplica $u^{6}$ por $1$ .

$u^{6} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{3} + 1$ .

${(t^{3} + 1)}^{6} + C$