Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} + 4} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 4$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {\sqrt{u - 4}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Simplifica.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ como $u - 4$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u - 4}$ como ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int {(u - 4)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.1.5

Simplifica.

$\int (u - 4) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{u}$ .

$\int (u - 4) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 4) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.2

Combina $u$ y $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.7

Suma $2$ y $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.8

Combina $- 4$ y $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $- 4 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2} d u$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} d u$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} d u$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 u^{\frac{1}{2}}}{1} d u$

Paso 4.2.4

Divide $- 2 u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.2

Reescribe $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.3.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$