Cálculo Ejemplos

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante sustitución de u. Mathway usará otro método.

Paso 2

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Paso 3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ en $0$ y en $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 5.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Combina las fracciones mediante un denominador común.

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Paso 6.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 6.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.2.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 6.1.2.2

Resta $\arctan (\frac{t}{4})$ de $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 6.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 6.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Paso 6.3

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

Paso 6.4

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo es infinito negativo.

$- \frac{1}{4} - \infty$

Paso 6.5

Sustituye $t$ por $\frac{t}{4}$ y deja que $t$ se acerque a $- \infty$ ya que $lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

Paso 6.6

El límite a medida que $t$ se acerca a $- \infty$ es $- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

Paso 6.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.7.1

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Paso 6.7.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

Paso 6.7.1.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 6.7.2

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.7.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Paso 6.7.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{π}{8}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{8}$

Forma decimal:

$0.39269908 \dots$