Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} - 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {\sqrt{u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Simplifica.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${\sqrt{u + 1}}^{2}$ como $u + 1$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u + 1}$ como ${(u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int {(u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int {(u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int {(u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.1.5

Simplifica.

$\int (u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{u}$ .

$\int (u + 1) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.2

Combina $u$ y $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.7

Suma $2$ y $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3.8

Multiplica $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2

Reescribe $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 9.3.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$