Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- d u = \sin (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ con respecto a $u$ es $\arctan (u) + C$ .

$- (\arctan (u) + C)$

Paso 6

Simplifica.

$- \arctan (u) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- \arctan (\cos (x)) + C$