Cálculo Ejemplos

$\int_{\ln (2)}^{\ln (8)} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + e^{x}$ . Entonces $d u = e^{x} d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + e^{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$e^{x}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{lower} = 1 + e^{\ln (2)}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$u_{lower} = 1 + 2$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{upper} = 1 + e^{\ln (8)}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$u_{upper} = 1 + 8$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $8$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

Paso 3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $9$ y en $3$ .

$(\ln (| 9 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $9$ es $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

Paso 5.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

Paso 5.3

Divide $9$ por $3$ .

$\ln (3)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (3)$

Forma decimal:

$1.09861228 \dots$