Cálculo Ejemplos

$\int x e^{3 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{u}{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{u}{3}$ y $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{u e^{u}}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3 \cdot 3} d u$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int \frac{u e^{u}}{9} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \int u e^{u} d u$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{1}{9} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x} - e^{3 x}) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Paso 8.2.2

Factoriza $3$ de $3 x e^{3 x}$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 \cdot 3} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Paso 8.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Paso 8.3

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} e^{3 x} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Paso 8.4

Combina $\frac{x}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Paso 8.5

Combina $\frac{1}{9}$ y $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$