Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} \sqrt{y + 1} d y$

Paso 1

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = y + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = y + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Paso 1.5

Suma $3$ y $1$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 4.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16 - 2}{3}$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $16$ .

$\frac{14}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{14}{3}$

Forma decimal:

$4.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$4 \frac{2}{3}$