Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Paso 1

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{1}{4} u^{4}$ en $\frac{1}{2}$ y en $1$ .

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{4}$ como $4^{- 1}$ .

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.5

Reescribe $\frac{1}{2}$ como $2^{- 1}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.6

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.9

Multiplica los exponentes en ${(2^{- 1})}^{4}$ .

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Paso 4.2.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.9.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.11

Resta $4$ de $- 2$ .

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.2.13

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Para escribir $- \frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

Paso 4.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $64$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

Paso 4.4.2.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

Paso 4.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1 - 16}{64}$

Paso 4.4.4

Resta $16$ de $1$ .

$- \frac{- 15}{64}$

Paso 4.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{15}{64}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{15}{64}$ por $1$ .

$\frac{15}{64}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{15}{64}$

Forma decimal:

$0.234375$