Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Paso 1

Sea $u = \cos (t)$ . Entonces $d u = - \sin (t) d t$ , de modo que $- d u = \sin (t) d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \cos (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{- 2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Paso 6

Evalúa $- u^{- 1}$ en $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y en $1$ .

$- ((- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Paso 7

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1^{- 1})$

Paso 8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

Forma decimal:

$0.41421356 \dots$