Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \sqrt{x + 1} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 3

Sea $u_{2} = u_{1} - 1$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = u_{1} - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} - 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Paso 3.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 4

Sea $u_{3} = u_{2} + 1$ . Entonces $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{3} = u_{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{2} + 1$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe ${(u_{3} - 1)}^{2}$ como $(u_{3} - 1) (u_{3} - 1)$ .

$\int (u_{3} - 1) (u_{3} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 5.2