Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 1.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Paso 1.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 1^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Evalúa $- \frac{1}{2} u_{2}$ en $\frac{1}{e}$ y en $1$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.31606027 \dots$