Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{u - 1}{u} d u$

Paso 2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

$\int d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int d u + \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$u + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$u + C - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$u + C - (\ln (| u |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$u - \ln (| u |) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$x + 1 - \ln (| x + 1 |) + C$