Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \sec (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \sec (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{lower} = \sec (2 \cdot 0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{6})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 (3)})$

Paso 1.5.1.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Paso 1.5.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Paso 1.5.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{2}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{2} u_{2}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 1}{2}$

Paso 3.4.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$