Cálculo Ejemplos

$\int \frac{- 20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante sustitución de u. Mathway usará otro método.

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Paso 4

Dado que $20$ es constante con respecto a $x$ , mueve $20$ fuera de la integral.

$- (20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x)$

Paso 5

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Paso 6

Sea $x = \frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ es positiva.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Simplifica $\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 7.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.1.1.2.1

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 7.1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.3

Combina $\frac{5 \sqrt{7}}{7}$ y $\sin (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7})}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.1.1.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7} \sin (t))}^{2}}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.4.2

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt{7} \sin (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.4.3

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt{7}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{5^{2} {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1.5.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.5.2

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 7.1.1.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.5.2.4.1

Cancela el factor común.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{1} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.5.2.5

Evalúa el exponente.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.5.3

Multiplica $25$ por $7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.6

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.7

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 7.1.1.7.1

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 (- 1) \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.7.2

Factoriza $7$ de $49$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.7.3

Cancela el factor común.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.7.4

Reescribe la expresión.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.8

Cancela el factor común de $175$ y $7$ .

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Paso 7.1.1.8.1

Factoriza $7$ de $175 \sin^{2} (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.1.8.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 (1)}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 \cdot 1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{25 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.8.2.4

Divide $25 \sin^{2} (t)$ por $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 (25 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.1.9

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.2

Factoriza $25$ de $25$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.3

Factoriza $25$ de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.4

Factoriza $25$ de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.6

Reescribe $25 \cos^{2} (t)$ como ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- 20 \int \frac{1}{5 \cos (t)} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{5 \cos (t)}$ por $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ .

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{5 \cos (t) \cdot 7} d t$

Paso 7.2.2

Multiplica $7$ por $5$ .

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{35 \cos (t)} d t$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $5$ y $35$ .

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Paso 7.2.3.1

Factoriza $5$ de $5 \sqrt{7} \cos (t)$ .

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{35 \cos (t)} d t$

Paso 7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $35 \cos (t)$ .

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

Paso 7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 7.2.4.1

Cancela el factor común.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

Paso 7.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Reescribe $- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$ como $- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$ .

$- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $- 20$ y $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\frac{- 20 \sqrt{7}}{7} t + C$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} t + C$

Paso 9.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5})$ .

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5}) + C$

Paso 9.4

Reordena los términos.

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{5} x) + C$