Cálculo Ejemplos

$\int (1 + \cos (3 x)) d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (1 + \cos (u)) \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int 1 + \cos (u) d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} (\int d u + \int \cos (u) d u)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} (u + C + \int \cos (u) d u)$

Paso 5

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} (u + C + \sin (u) + C)$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{1}{3} (u + \sin (u)) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 x + \sin (3 x)) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

$x + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Paso 8.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (3 x)$ .

$x + \frac{\sin (3 x)}{3} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$x + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$