Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\tan^{-1} (x)}{1 + x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = \tan^{-1} (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \tan^{-1} (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\tan^{-1} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\tan^{-1} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4

Reorganiza los términos.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan^{-1} (x)$ .

$\frac{1}{2} {\tan^{-1} (x)}^{2} + C$