Cálculo Ejemplos

$\int x e^{- x} d x$

Paso 1

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u e^{u} d u$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$u e^{u} - \int e^{u} d u$

Paso 3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$u e^{u} - (e^{u} + C)$

Paso 4

Simplifica.

$u e^{u} - e^{u} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$