Cálculo Ejemplos

$\int \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \sin (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \sin (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ como $\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} \sin^{2} (2 x) + C$