Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + x^{3}$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $8$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $9$ y en $1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 6.3.3.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.3.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 6.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3})$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 6.5.2

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 6.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Paso 6.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.4.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Paso 6.5.4.2

Resta $2$ de $54$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3}$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{3 \cdot 3}$

Paso 6.6.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{52}{9}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{52}{9}$

Forma decimal:

$5.\overline{7}$

Forma de número mixto:

$5 \frac{7}{9}$