Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 1

Divide la fracción $\frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ en dos fracciones.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 5

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 5.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$