Cálculo Ejemplos

$\int (5 x^{2} - 3) (2 x) d x$

Paso 1

Mueve $2$ a la izquierda de $5 x^{2} - 3$ .

$\int 2 (5 x^{2} - 3) x d x$

Paso 2

Sea $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Entonces $d u = 20 x d x$ , de modo que $\frac{1}{20} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (5 x^{2} - 3)]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 (5 x^{2} - 3)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$ .

$2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Paso 2.1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.1.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.1.6

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.1.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (10 x + 0)$

Paso 2.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.8.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$2 (10 x)$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $10$ por $2$ .

$20 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u \frac{1}{20} d u$

Paso 3

Combina $u$ y $\frac{1}{20}$ .

$\int \frac{u}{20} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{20}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{20}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{20} \int u d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ como $\frac{1}{40} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{40} u^{2} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{1}{40} {(2 (5 x^{2} - 3))}^{2} + C$