Cálculo Ejemplos

$\int x \sqrt{1 - x} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Expande $(- u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4.2

Factoriza el negativo.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4.7

Suma $2$ y $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4.8

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4.9

Reordena $- u^{\frac{3}{2}}$ y $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Paso 9

Simplifica.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$- (\frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 11.1.2

Combina ${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{2}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Paso 11.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.2

Para escribir $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.3

Para escribir $- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 11.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.4.1

Multiplica $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 11.4.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 11.4.3

Multiplica $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Paso 11.4.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Paso 11.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Paso 11.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.6.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Paso 11.6.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$- \frac{1}{15} (10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$