Cálculo Ejemplos

$\int \cos^{5} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\cos^{4} (x)$ .

$\int \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\cos (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Paso 4

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Paso 5

Expande ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.1

Reescribe ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 5.5

Mueve $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 5.6

Mueve $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.11

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 5.13

Suma $2$ y $2$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 5.14

Resta $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$\int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Paso 5.15

Reordena $- 2 u^{2}$ y $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Paso 5.16

Mueve $1$ .

$\int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{5} (x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$