Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$