Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{5 x + 4}{2 x + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $2$ y $1$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{2 u} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u} d u$

Paso 4

Divide la fracción en varias fracciones.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{u} + \frac{4}{u} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 6

Dado que $5$ es constante con respecto a $u$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.2

Combinar.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 7.7.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 7.7.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{u} d u) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 9

Divide la fracción en varias fracciones.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{u}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 11

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 11.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{u}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 11.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3}))) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 16

Combina $\frac{1}{2}$ y $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Paso 17

Dado que $4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + 4 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Paso 18

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| u |)]_{1}^{3}))$

Paso 19

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} 2 x + 1]_{1}^{3} + \frac{5}{2} (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Paso 20.2

Combina $\frac{5}{2}$ y $2 x + 1]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3})}{2} + \frac{5}{2} (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Paso 20.3

Combina $\frac{5}{2}$ y $\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3})}{2} - \frac{5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Paso 20.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Paso 20.5

Factoriza $5$ de $5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ .

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Paso 20.5.1

Factoriza $5$ de $- 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Paso 20.5.2

Factoriza $5$ de $5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Paso 20.6

Para escribir $4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Paso 20.7

Combina $4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + \frac{4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2})$

Paso 20.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

Paso 20.9

Simplifica el numerador.

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Paso 20.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

Paso 20.9.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

Paso 20.9.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) + 8 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$

Paso 20.9.4

Suma $- 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ y $8 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$

Paso 20.10

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$ .

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Paso 20.10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$ .

$\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2 \cdot 2}$

Paso 20.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{4}$

Paso 21

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} (5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$