Cálculo Ejemplos

$\int x e^{2 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{u}{2}$ y $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{u e^{u}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2 \cdot 2} d u$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{u e^{u}}{4} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int u e^{u} d u$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{1}{4} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Paso 8.2.2

Factoriza $2$ de $2 x e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Paso 8.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Paso 8.3

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} e^{2 x} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Paso 8.4

Combina $\frac{x}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Paso 8.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$