Cálculo Ejemplos

$\int (6 x^{2} + x) \csc^{2} (4 x^{3} + x^{2}) d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x^{3} + x^{2}$ . Entonces $d u = (12 x^{2} + 2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (6 x^{2} + x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x^{3} + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x^{3} + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} + x^{2}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} + 2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\csc^{2} (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \csc^{2} (u) d u$

Paso 4

Como la derivada de $- \cot (u)$ es $\csc^{2} (u)$ , la integral de $\csc^{2} (u)$ es $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \cot (u) + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} (- \cot (u)) + C$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cot (u)$ .

$- \frac{\cot (u)}{2} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{3} + x^{2}$ .

$- \frac{\cot (4 x^{3} + x^{2})}{2} + C$

Paso 7

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} \cot (4 x^{3} + x^{2}) + C$