Cálculo Ejemplos

$\int x \sqrt{x - 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u + 1) \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Expande $(u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.6

Suma $2$ y $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.7

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$