Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Paso 1

Sea $u = \frac{π t}{2}$ . Entonces $d u = \frac{π}{2} d t$ , de modo que $\frac{2}{π} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{π t}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{π t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{π}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{π t}{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $2$ de $π \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

Paso 1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

Paso 1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

Paso 1.3.1.2.4

Divide $π \cdot 0$ por $1$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Paso 1.3.2

Multiplica $π$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

Paso 1.5

Multiplica $π$ por $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{π}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{2}{π}$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

Paso 2.3

Combina $\cos (u)$ y $\frac{2}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

Paso 2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{2}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Paso 4

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{2}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$\frac{2}{π} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{2}{π} (1 - \sin (0))$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{2}{π} (1 - 0)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{2}{π} (1 + 0)$

Paso 5.2.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2}{π} \cdot 1$

Paso 5.2.5

Multiplica $\frac{2}{π}$ por $1$ .

$\frac{2}{π}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{π}$

Forma decimal:

$0.63661977 \dots$