Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \sqrt{1 - x} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 1 - x$ . Entonces $d u_{1} = - d x$ , de modo que $- d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int - {(- u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int {(- u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int {(- u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Entonces $d u_{2} = - d u_{1}$ , de modo que $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- u_{1} + 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$- 1 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$- 1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \int - {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- - \int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 6.2

Multiplica $\int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 7

Sea $u_{3} = - u_{2} + 1$ . Entonces $d u_{3} = - d u_{2}$ , de modo que $- d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{3} = - u_{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $- u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2} + 1]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- u_{2} + 1$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 7.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}]$ .

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Paso 7.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $- u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 7.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 7.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 7.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 7.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$- 1 + 0$

Paso 7.1.4.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$- 1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\int - {(- u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int {(- u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe ${(- u_{3} + 1)}^{2}$ como $(- u_{3} + 1) (- u_{3} + 1)$ .

$- \int (- u_{3} + 1) (- u_{3} + 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 9.2