Cálculo Ejemplos

$4 \int \frac{1}{1 - x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (1 - x)$ por $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.7.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.7.5

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 1.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 1.1.7.5.2

Divide $(B) (1 + x)$ por $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Paso 1.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Paso 1.1.7.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Paso 1.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.8.1

Mueve $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Paso 1.1.8.2

Reordena $B$ y $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Paso 1.1.8.3

Mueve $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Paso 1.1.8.4

Mueve $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Paso 1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 1 A + B$ por $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (1 - B) + B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.3.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Suma $B$ y $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 1 + 2 B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.3

Resta $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 - x}$ .

$4 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Paso 4

Sea $u_{1} = 1 + x$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Paso 7

Sea $u_{2} = 1 - x$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 7.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C)))$

Paso 11

Simplifica.

$4 (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + x$ .

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - x$ .

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Paso 13.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Paso 13.3.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Paso 13.3.3

Reescribe la expresión.

$2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$