Cálculo Ejemplos

$\frac{17}{2} - \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{17}{2} - \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{17}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{17}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$

Paso 1.2

Como $\frac{17}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{17}{2}$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$ .

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Paso 2.1

Combina $\cos (\frac{π t}{6})$ y $\frac{3}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{\cos (\frac{π t}{6}) \cdot 3}{2}]$

Paso 2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (\frac{π t}{6})$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3 \cdot \cos (\frac{π t}{6})}{2}]$

Paso 2.3

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{3 \cos (\frac{π t}{6})}{2}$ con respecto a $t$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$ .

$0 - \frac{3}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = \frac{π t}{6}$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π t}{6}$ .

$0 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Paso 2.4.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{π t}{6}$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Paso 2.5

Como $\frac{π}{6}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{π t}{6}$ con respecto a $t$ es $\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \cdot 1))$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $1$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{π}{6})$

Paso 2.8

Combina $\frac{π}{6}$ y $\sin (\frac{π t}{6})$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6})$

Paso 2.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{2}) \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$0 + \frac{3}{2} \cdot \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Paso 2.11

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ .

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{2 \cdot 6}$

Paso 2.12

Multiplica $2$ por $6$ .

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{12}$

Paso 2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{3 \cdot 4}$

Paso 2.13.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{3 \cdot 4}$

Paso 2.13.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{4}$

Paso 3

Suma $0$ y $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{4}$