Cálculo Ejemplos

$x^{2} = 4 y^{3} + 5 y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 5 y^{2})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 y^{3} + 5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y y')$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x = 12 y^{2} y' + 10 y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$

Paso 5.2

Factoriza $2 y y'$ de $12 y^{2} y' + 10 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 y y'$ de $12 y^{2} y'$ .

$2 y y' (6 y) + 10 y y' = 2 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 y y'$ de $10 y y'$ .

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5 = 2 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5$ .

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ por $2 y (6 y + 5)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ por $2 y (6 y + 5)$ .

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $6 y + 5$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y (6 y + 5)}$