Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 (1 - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

Paso 2

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$3 \int 1 (1 - u^{2}) d u$

Paso 3.2

Multiplica $1 - u^{2}$ por $1$ .

$3 \int 1 - u^{2} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$3 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$3 (u + C + \int - u^{2} d u)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (u + C - \int u^{2} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Paso 8

Simplifica.

$3 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$3 (\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\tan^{3} (x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 (\tan (x) - \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \tan (x) + 3 (- \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\tan^{3} (x)}{3}$ al numerador.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Paso 10.3.3

Reescribe la expresión.

$3 \tan (x) - \tan^{3} (x) + C$