Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{5} x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$- \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4 (\frac{1}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.2.4

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{4}{5}$ y $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.2.6

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.3.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.3.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 (- x^{- 2})$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x^{- 2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.3

Combina $2$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.5

Combina $\frac{6}{2}$ y $x$ .

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.6.2.4

Divide $3 x$ por $1$ .

$3 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$3 x + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 x + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 3 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 x + 3 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 x + 3 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x + 3 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$3 x + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.10

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{5 x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 2.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Paso 2.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 2.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Paso 2.4.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Paso 2.4.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Paso 2.4.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Paso 2.4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Paso 2.4.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

Paso 2.4.8

Combina $- 5$ y $\frac{4}{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

Paso 2.4.9

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5} x^{- 6}$

Paso 2.4.10

Combina $\frac{- 20}{5}$ y $x^{- 6}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20 x^{- 6}}{5}$

Paso 2.4.11

Mueve $x^{- 6}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5 x^{6}}$

Paso 2.4.12

Cancela el factor común de $- 20$ y $5$ .

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Paso 2.4.12.1

Factoriza $5$ de $- 20$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Paso 2.4.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.12.2.1

Factoriza $5$ de $5 x^{6}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 (x^{6})}$

Paso 2.4.12.2.2

Cancela el factor común.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Paso 2.4.12.2.3

Reescribe la expresión.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 4}{x^{6}}$

Paso 2.4.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 x - 6 x^{- 3} - \frac{4}{x^{6}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x - 6 \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$3 x + \frac{- 6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 3 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$