Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x^{2} + 2 x - 1}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}$ como ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 2 x - 1$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 2 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.6

Combina fracciones.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.6.3

Mueve ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Paso 4.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.11

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + 0)$

Paso 4.13

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$

Paso 4.14

Simplifica.

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Paso 4.14.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.2

Multiplica $2 x + 2$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.3

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.4

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.5

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.14.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.14.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$