Cálculo Ejemplos

$\tan (x y) = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (\tan (x y)) = \frac{d}{d y} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \tan (y)$ y $g (y) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y x')$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec^{2} (x y) x + \sec^{2} (x y) (y x')$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$

Paso 3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x' = x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$ .

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) = x'$

Paso 5.2

Resta $x'$ de ambos lados de la ecuación.

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) - x' = 0$

Paso 5.3

Resta $x \sec^{2} (x y)$ de ambos lados de la ecuación.

$y x' \sec^{2} (x y) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Paso 5.4

Factoriza $x'$ de $y x' \sec^{2} (x y) - x'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x'$ de $y x' \sec^{2} (x y)$ .

$x' (y \sec^{2} (x y)) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Paso 5.4.2

Factoriza $x'$ de $- x'$ .

$x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1 = - x \sec^{2} (x y)$

Paso 5.4.3

Factoriza $x'$ de $x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1$ .

$x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$

Paso 5.5

Divide cada término en $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ por $y \sec^{2} (x y) - 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ por $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$