Cálculo Ejemplos

$\int_{- 3}^{4} (2 e^{- 3 x} - 3 e^{x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} - 3 e^{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{- 3}^{4} e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 4

Sea $u = - 3 x$ . Entonces $d u = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 4.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 3 x$ .

$u_{lower} = - 3 \cdot - 3$

Paso 4.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$u_{lower} = 9$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 3 x$ .

$u_{upper} = - 3 \cdot 4$

Paso 4.5

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$u_{upper} = - 12$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = - 12$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 5.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{9}^{- 12} - \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{1}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Paso 11

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 \int_{- 3}^{4} e^{x} d x$

Paso 12

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 12$ y en $9$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Paso 13.2

Evalúa $e^{x}$ en $4$ y en $- 3$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 ((e^{4}) - e^{- 3})$

Paso 13.3

Elimina los paréntesis.

$- \frac{2}{3} (e^{- 12} - e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2}{3} e^{- 12} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Paso 14.1.2

Combina $e^{- 12}$ y $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Paso 14.1.3

Multiplica $- \frac{2}{3} (- e^{9})$ .

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Paso 14.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + 1 (\frac{2}{3}) e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Paso 14.1.3.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2}{3} e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Paso 14.1.3.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $e^{9}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Paso 14.1.4

Mueve $e^{- 12}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Paso 14.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} - 3 (- e^{- 3})$

Paso 14.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 e^{- 3}$

Paso 14.2

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 \frac{1}{e^{3}}$

Paso 14.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Forma decimal:

$5238.41085872 \dots$

Paso 16