Cálculo Ejemplos

$\sqrt{5 - x}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{5 - x}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{5 - x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{5 - x} d x$

Paso 4

Sea $u = 5 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 5 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $5 - x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - x]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 4.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - \sqrt{u} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \sqrt{u} d u$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 8

Reescribe $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - x$ .

$- \frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{5 - x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$