Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ por $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 4

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ y $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ en $\frac{3 π}{2}$ y en $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Combina $\frac{3 π}{2}$ y $\cos (\frac{3 π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 5.2.2.2

Combina $\frac{π}{2}$ y $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 5.2.2.3

Para escribir $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.2.2.4

Combina $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.2.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.3

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.6

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.3.8

Para escribir $\sin (\frac{3 π}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.3.9

Combina $\sin (\frac{3 π}{2})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Paso 5.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Paso 5.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 5.3.12

Factoriza $- 1$ de $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 5.3.13

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 5.3.14

Factoriza $- 1$ de $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 5.3.15

Factoriza $- 1$ de $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Paso 5.3.16

Factoriza $- 1$ de $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Paso 5.3.17

Reescribe $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ como $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Paso 5.3.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 5.4.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 5.4.3

Multiplica $3 π \cdot 0$ .

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Paso 5.4.3.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 5.4.3.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 5.4.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Paso 5.4.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Paso 5.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

Paso 5.4.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

Paso 5.4.8

Cancela el factor común de $0 + 2 + 2$ y $2$ .

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Paso 5.4.8.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

Paso 5.4.8.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

Paso 5.4.8.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

Paso 5.4.8.4

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

Paso 5.4.8.5

Factoriza $2$ de $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

Paso 5.4.8.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.8.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

Paso 5.4.8.6.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.8.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

Paso 5.4.8.6.4

Divide $0 + 1 + 1$ por $1$ .

$- (0 + 1 + 1)$

Paso 5.4.9

Suma $0$ y $1$ .

$- (1 + 1)$

Paso 5.4.10

Suma $1$ y $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Paso 5.4.11

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2$