Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 1 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $4$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{5} u d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{2} u^{2}$ en $5$ y en $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $25$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Paso 3.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 3.2.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 3.2.5

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

Paso 3.2.6

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 3.2.6.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Paso 3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

Paso 3.2.6.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{25}{2} - 2$

Paso 3.2.7

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.8

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.10.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{25 - 4}{2}$

Paso 3.2.10.2

Resta $4$ de $25$ .

$\frac{21}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{21}{2}$

Forma decimal:

$10.5$

Forma de número mixto:

$10 \frac{1}{2}$

Paso 5