Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ como ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 1.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Paso 1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7.2

Combina ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7.3.2

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 11

Simplifica los términos.

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Paso 11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x)$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Paso 11.3

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Paso 11.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Paso 11.5

Combina $\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 6 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 11.6

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 12

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$