Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (2 x)}{x \sin (3 x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\tan^{2} (2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (2 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Paso 1.1.2.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Paso 1.1.2.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Paso 1.1.3.5.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.5.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (2 x)}{x \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.3.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.8

Reordena los factores de $4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.10

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.3.10.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.10.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.10.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.11

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.14

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) \cdot 1}$

Paso 1.3.16

Multiplica $\sin (3 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)}$

Paso 1.3.17

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.8.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.8.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$4 \frac{1^{2} \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.8.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{1 \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.8.4

Multiplica $\tan (2 \cdot 0)$ por $1$ .

$4 \frac{\tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.8.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.2.8.6

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 3.1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 3.1.3.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 3.1.3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 3.1.3.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 3.1.3.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Paso 3.1.3.7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.1.3.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.1.3.8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.1.3.8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.9.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$4 \frac{0}{0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.9.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$4 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.9.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$4 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.9.1.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$4 \frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.9.1.5

Multiplica $3$ por $0$ .

$4 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Paso 3.1.3.9.1.6

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 \frac{0}{0 + 0}$

Paso 3.1.3.9.2

Suma $0$ y $0$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.9.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.10

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ y $g (x) = \tan (2 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.3.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.4

Multiplica $\sec^{2} (2 x)$ por $\sec^{2} (2 x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 lim_{x \to 0} \frac{{\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{4} (2 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sec (2 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.9.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (2 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \cdot 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan (2 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $2 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.11.2

La derivada de $\sec (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.11.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.12

Eleva $\tan (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.13

Eleva $\tan (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.15

Suma $1$ y $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.16

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.17

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.19

Suma $1$ y $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.20

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.21

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.23

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.24

Reordena los términos.

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Paso 3.3.25

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.26.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x \cos (3 x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (3 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.3.26.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26.3.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.26.9

Multiplica $\cos (3 x)$ por $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3.27

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Paso 3.3.27.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.3.27.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.27.1.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.27.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.27.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.27.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

Paso 3.3.27.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3}$

Paso 3.3.27.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + 3 \cos (3 x)}$

Paso 3.3.28

Simplifica.

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Paso 3.3.28.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Paso 3.3.28.2

Combina los términos.

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Paso 3.3.28.2.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Paso 3.3.28.2.2

Suma $3 \cos (3 x)$ y $3 \cos (3 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{4 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{4 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.5

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{4 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$4 \frac{4 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.8

Mueve el exponente $2$ de $\tan^{2} (2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.11

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.12

Mueve el exponente $4$ de $\sec^{4} (2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{4}}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.13

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.14

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.15

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.16

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.17

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.18

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.19

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Paso 4.20

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Paso 4.21

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Paso 4.22

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$4 \frac{4 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{4 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 \frac{4 \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \frac{4 \cdot \tan^{2} (0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.6

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$4 \frac{4 \cdot 0^{2} + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \frac{4 \cdot 0 + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.8

Multiplica $4$ por $0$ .

$4 \frac{0 + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.9

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \frac{0 + 2 \sec^{4} (0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.10

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$4 \frac{0 + 2 \cdot 1^{4}}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{0 + 2 \cdot 1}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.12

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 \frac{0 + 2}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.1.13

Suma $0$ y $2$ .

$4 \frac{2}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$4 \frac{2}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$4 \frac{2}{0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 \frac{2}{0 \cdot 0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.2.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$4 \frac{2}{0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Paso 6.2.5

Multiplica $3$ por $0$ .

$4 \frac{2}{0 + 6 \cos (0)}$

Paso 6.2.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$4 \frac{2}{0 + 6 \cdot 1}$

Paso 6.2.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$4 \frac{2}{0 + 6}$

Paso 6.2.8

Suma $0$ y $6$ .

$4 (\frac{2}{6})$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 \frac{2 (1)}{6}$

Paso 6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{1}{3})$

Paso 6.4

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{4}{3}$

Forma decimal:

$1.\overline{3}$