Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Paso 3.2

Multiplica $\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ por $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Paso 4

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Paso 4.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Paso 4.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $x (- e^{- x})$ en $\ln (2)$ y en $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Paso 7.2

Evalúa $e^{u}$ en $- \ln (2)$ y en $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Paso 7.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Paso 7.3.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Paso 7.3.5

Suma $\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ y $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Paso 7.3.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

Paso 7.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Simplifica $- \ln (2)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Paso 8.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Paso 8.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Paso 8.4

Combina $\ln (2)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Paso 8.5

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1

Simplifica $- \ln (2)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

Paso 8.5.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

Paso 8.5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Paso 8.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Paso 8.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Paso 8.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 8.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Paso 8.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

Paso 8.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

Paso 8.11

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 8.11.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.15342640 \dots$

Paso 10